От простого – к несложному ч.1

Что бы ни говорили физиологи, философы и физики, мы видим окружающий нас Мир все-таки в виде плоскости – как экран в кинотеатре. А вот воспринимаем его трехмерным потому, что третью координату дорисовывает мозг, исходя из нашего опыта. Недаром мы прекрасно понимаем объекты планиметрии, но с восприятием трехмерных фигур у нас возникают сложности.  Простой пример: 

В кубе 5x5x5 выполнена секущая плоскость. Вопрос: сколько кубиков она разрежет? 

Для упрощения задачи попробуйте посмотреть на кубик Рубика. Он меньше и его можно легко крутить в руках, пытаясь понять прохождение плоскости через невидимые нам внутренние кубики. 

Я сам начал решать эту задачу с помощью детских кубиков своей трехлетней дочки. 

И решил, с чем и хочу вас познакомить. 

Начнем с самого простейшего случая - рассмотрим геометрическое представление теоремы Пифагора.                                                 

Возьмем  решение этого уравнения в наименьших целых числах.

Это означает, что вычитая (или лучше - вырезая) из большего квадрата меньший, мы из оставшейся части (в древности математики называли ее гномоном) можем сложить квадрат, сторона которого будет соизмерима со сторонами первых двух. 

Считаем квадратики во всех фигурах и убеждаемся в правильности такого подхода. Весь вопрос состоит в том, как вы их считали? Обычно мы считаем слева направо, сверху вниз - как пишем. 

Я же предлагаю считать иначе. Попробуйте посчитать за мной. Я их пронумеровал в нужном порядке.

Ничего нового не замечаете?  А если я разобью квадрат на слои квадратиков вот так: 

 Считаем количество квадратиков в каждом  слое:  1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1

Отсюда получаем такой счет большого квадрата:    1+2+3+4+5+4+3+2+1=25

А если последовательно суммировать слои, то такую последовательность: 

                                             1, 3, 6, 10, 15, 19, 22, 24, 25                     (1)

Кто помнит из школы бином Ньютона, может узнать в последовательности (1) некоторые из  чисел. Да, заслуживает внимания их первая пятерка. Ее можно увидеть и на левом столбце пронумерованного квадрата (рис.3). 

Эта пятерка чисел представляет собой биномиальные коэффициенты, которые очень наглядно представляются треугольником Паскаля. 

 Смотрите - наша пятерка расположилась по второму направлению этого арифметического треугольника. Далее в последовательности (1) идут не интересные для нас цифры и мы их отбросим. То есть, мы отрежем вторую половину большого квадрата и тогда наше геометрическое представление будет выглядеть так:

Уравнение Пифагора в числах приобретает, соответственно, другой вид:                        

А послойный счет квадратиков и их половинок будет выглядеть так:          

Ну и что же тут интересного?  Вместо целых квадратиков появились еще их половинки и считать стало, вроде бы, сложнее. 

Для наглядности, чтобы логичнее представить переход в 3D, изобразим еще раз слои квадратиков: 

Продолжение во второй части